控制工程基础

动态数学模型

1. 质量-弹簧-阻尼系统（平移）：

   • 牛二定律：$F = ma = m \frac{dv}{dt} = m \frac{\text d^2 x}{\text d t ^2}$

   • 弹簧相关：$f _ k (t) = k [x _ 1 (t) - x _ 2 (t)] = k x(t)$

   • 阻尼相关：$f _ D (t) = D v(t) = D \frac{\text d x (t)}{\text d t}$

   • 建立数学模型：根据牛二定律把方程写好，带入弹簧阻尼式子进去，然后整理成微分方程，左边输出，右边输入

2. 扭转系统（转动）：

   • 转动定律：$M = J a = J \frac{\text d \omega}{\text d t} = J \frac{\text d ^2 \theta _ o (t)}{\text d t^2}$

   • 扭簧传递的力矩相关：$T _ k (t) = k [\theta _ i (t) - \theta _ o (t)]$

   • 粘性液体的粘性阻尼力矩相关：$T _ D (t) = D \frac{\text d \theta _ o (t)}{\text d t}$

   • 建立数学模型

3. 电路系统：

   • 电阻相关：$u(t) = R \cdot i(t)$

   • 电容相关：电容两端的电压和流过的电流关系 $u (t) = \frac{1}{C} \int i (t) \text dt$

   • 电感相关：$u(t) = L \frac{\text d i(t)}{\text dt}$

4. R-L-C无源电路网络（电阻-电感-电容）

   • 建立数学模型：因为电流是假设出来的，所以消掉电流$i(t)$，然后建立微分方程，左输出右输入

5. 有源电路网络（包含放大器）

   • 建立数学模型：学会运放的基础知识，了解运放怎么工作的，有反馈的运放两个输入端电压平衡后基本一致

6. 电动机：

   • 基尔霍夫定律： 沿着闭合回路所有元件两端的电势差（电压）的代数和等于零。

   • 电动机力矩方程：$T(t) = K _ T i _ a (t)$

   • 电动机电磁感应定律：$e _ m (t) = K _ e \frac{\text d \theta _ o (t)}{\text dt}$，$K _ e$是电动机反电势系数，$\theta _ o (t)$是电动机转的角度，$e _ m (t)$是电动机两边的电压

   • 转动定律：$M = J a = J \frac{\text d \omega}{\text d t} = J \frac{\text d ^2 \theta _ o (t)}{\text d t^2}$

   • 粘性液体的粘性阻尼力矩相关：$T _ D (t) = D \frac{\text d \theta _ o (t)}{\text d t}$

   • 建立数学模型：然后削去中间变量，左输出右输入

7. 旋转体牛二方程：$T = A \cdot J$，$A$是质量体的角加速度，$J$是质量体的转动惯量，单质量体的转动惯量是$mr^2$

8. 数学模型线性化：基本所有的控制数学模型都是非线性的，比如模型中有三角函数，线性化可以是方程简化，简化控制问题而控制几乎不受影响，非线性问题好多还没解决。以下是线性化方法：

   • 如果非线性因素对系统影响很小的时候可以直接忽略掉

   • 如果系统的变量只发生微小的偏移，可以通过取其线性主部，切线法进行线性化（说人话就是泰勒展开，因为泰勒展开本身就是对非线性函数的线性近似），比如$\sin {\theta _ o (t)}$线性成为$\theta _ o (t)$

9. 利用拉式变换可以将微分方程转换成代数方程，简化求解。说白了拉氏变换就是为了简化计算

10. 拉氏变换条件：

    • $f(t)$在$t\geq0$时任意有限区间分段连续

    • 要存在一个正实数$\sigma$，使得$\lim\limits_{t \to \infty} e ^ {- \sigma t} |f(t)| \to 0$。也就是说$f(t)$是指数级的，增长速度赶不上负指数函数随时间的衰减

11. 拉氏变换（输出的是象函数）：$s = \sigma + j \omega$

    $$F(s) = L [f(t)] ≡ \int^{\infty}_{0} f(t) e ^ {-st} \text dt$$
12. 简单函数的拉氏变换：

    • 单位阶跃函数$1(t)$，

      $$\begin{align} &1(t) = \begin{cases} 0, & t<0 \\ 1, & t>0 \end{cases}\\ &L[1(t)] = \frac{1}{s} \end{align}$$
    • 指数函数$e ^ {at} \cdot 1(t)$，$L[e ^ {at} \cdot 1(t)] = \frac{1}{s-a}$

    • 正弦函数$\sin {\omega t} \cdot 1(t)$，$L[\sin {\omega t} \cdot 1(t)] = \frac{\omega}{s ^2 + \omega ^2}$

    • 余弦函数$\cos {\omega t} \cdot 1(t)$，$L[\cos {\omega t} \cdot 1(t)] = \frac{s}{s ^2 + \omega ^2}$

    • 单位脉冲函数$\delta (t)$，

      $$\delta (t) = \begin{cases} 0, & t<0,t>\epsilon \\ \lim\limits_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon}, & 0<t<\epsilon \end{cases}\\ L[\delta (t)] = 1$$
    • 单位速度（斜坡）函数，

      $$f (t) = \begin{cases} 0, & t<0 \\ t, & t\geq0 \end{cases}\\ L[f (t)] = \frac{1}{s^2}$$
    • 单位加速度函数，

      $$f (t) = \begin{cases} 0, & t<0 \\ \frac{1}{2}t^2, & t\geq0 \end{cases}\\ L[f (t)] = \frac{1}{s^3}$$
    • 幂函数$t^n \cdot 1(t)$，$L[t^n \cdot 1(t)] = \frac{n!}{s^{n+1}}$

13. 拉氏变换性质

    • 叠加原理（展现拉氏变换为线性变换）：

      • 齐次性：$L[af(t)] = aL[f(t)]$

      • 叠加性：$L[af _ 1 (t)+b f _ 2 (t)] = a L [f _ 1 (t)]+bL[f _ 2 (t)]$

    • 微分定理（可以把微分方程变成代数方程）：

      $$L \left[ \frac{d f(t)}{dt} \right] = sF(s) - f(0)\\ 其中f(0) = f(t) | _ {t = 0}$$

      两个推论：

      $$L \left[ \frac{d^2 f(t)}{dt^2} \right] = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$$

      $$L \left[ \frac{d^n f(t)}{dt^n} \right] = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0)- \cdots - f^{(n-1)}(0)$$

      另外当f(t)在t=0时刻的值为0（零初始条件），那么式子可以直接变成

      $$L \left[ \frac{d f(t)}{dt} \right] = sF(s)\\ L \left[ \frac{d^2 f(t)}{dt^2} \right] = s^2F(s)\\ L \left[ \frac{d^n f(t)}{dt^n} \right] = s^nF(s)$$
    • 积分定理（与微分定理对偶）：

      $$L \left[ \int f(t) dt \right] = \frac{F(s)}{s}+\frac{f^(-1)(0)}{s}\\ 其中f^(-1)(0) = \int f(t)dt | _ {t = 0}$$

      当零初始条件时，有

      $$L \left[ \int f(t) dt \right] = \frac{F(s)}{s}\\ L \left[ \int \cdots \int f(t) (dt)^n \right] = \frac{F(s)}{s^n}$$
    • 延时定理（令f向右延时a）：

      $$L \left[ f(t-a)\cdot 1(t-a) \right] = d ^{-as} F (s)$$
    • 衰减定理（与延时定理对偶）：

      $$L \left[ e^{-at}f(t) \right] = F(s+a)$$
    • 初值定理（用来求0+的值）：

      $$\lim\limits _{t \to 0^+} f(t) = f(0^+) = \lim\limits_{s \to \infty} s F(s)$$
    • 终值定理（求稳态误差，但需要有终止）：

      $$\lim\limits _{t \to \infty} f(t) = f(\infty) = \lim\limits_{s \to 0} s F(s)$$
    • 卷积定理：

      $$L \left[ f(t)*g(t) \right] = F(s)G(s)$$
14. 求拉式反变换就像在求级数和函数S(x)一样，凑来凑去最后利用已知的函数的反变换直接写结果

15. 一个系统的传递函数为$G(s) = \frac{X _ o (s)}{X _ i (s)}$

16. 传递函数$G(s)$的特点：

    • 可简化微积分运算，直接进行代数运算（微积分运算$\to$代数运算）

    • 输入典型信号时，其输出与传递函数有一定的对应关系。（因为$X _ o (s) = G(s)X _ i (s)$，当输入信号是单位脉冲函数$\delta (s)$，那么$X _ i (s) = 1$，所以此时$X _ o (s) = G(s)$）

    • 令传递函数中$s = j \omega$，则系统可在频率域内分析（第四章系统的频率特性内容）

    • $G(s)$的零极点分布决定系统动态特性（零点：分子为0，极点：分母为零）